変な関数

こんな関数を研究室の先生に教えてもらった．

この関数はどんな振る舞いをしているか．と言うか，どんな x を与えるとどのような値を取るか．

解答は CM の後で!（何

ディリクレの関数と呼ばれているもの．

f(x) の一部だけ取り出し， g(x) = lim_k→∞ cos^2k (n!πx)（n は固定）について考える．まず cos^2k を cos の 2 乗の k 乗と考えると，値域が [-1, 1] の cos を 2 乗してるので g(x) の値域は [0, 1] らしく，さらに k→∞ なので，結局 g(x) の関数値としては 0 か 1 かのどちらかを取るようだ（0≦r<1 のとき lim_k→∞r^k = 0）．つまり cos² が 1 のとき g(x) が 1 で， cos² がそれ以外の値を取ると g(x) は 0 ．と言うことで， cos² が 1 を取るような時はどういう場合かを考えれば良さそう．

一般的には，cos²(r) = 1 が成り立つような r は，πの整数倍である（r=cπ, c∈Z）．さて g(x) の cos の中身について考えると，これは n!πx で，n! は整数だけど x は実数．よって， n!x が整数であれば， cos² (n!πx) は 1 を取る． n!x が整数になるような x とはどんなものかというと， x=m/n’ の形に書けるもの（ただし m は整数， n’ は n! の約数）．

で，ここで固定してた n を動かして（つまりここから f(x)=lim_n→∞g(x) を考える） n→∞ とすると， x の制約として x=m/n’ という式があったけれど，これは n が十分大きいときには n’ として 1 以上の任意の整数を取れることを示し，つまり x が有理数であることを表している（表現が微妙?）．

結局， x が有理数の時 f(x)=1 で，そうでない時（つまり x が無理数の時） f(x)=0 となる，という．

ここで導いた結論を満たす関数を作れと言われると難しいのに，最初に与えられた f(x) はとても初歩的な要素で作られているので，なんか不思議な感じがします．こんなのを 150 年以上前に考えてたディリクレはすごい．

文中の数式は TeXclip を使わせてもらいました．綺麗で良いですね． Ichiro Maruta さんに感謝．

このエントリ書いてて思いましたが， MathML っていつまでたっても流行らないですね．ブラウザが対応してもさらにフォントが必要になるって，要求として高すぎる．ブラウザがフォントも持っててくれればねぇ．あと MathML は複雑なので手で書くような代物では無いので， tex2mathml 的なコマンドが必要だと思います． Web でもいいけどローカルに欲しい．